ここでクイズです．2つの電柱の間に電線を通そうと考えています．
電柱の間が10mの時，必要な電線は何mでしょうか？
そんなの電線をたるませればいくらでも長くできるじゃん，
と思ったあなたはIQが高いかもしれません．
ちなみにこのたるみの曲線のことを懸垂曲線（カテナリー曲線）といいます．
今回はこの曲線の話題に触れようと思います．
本題
先ほどの続きで電線を引張ってたわみを無くしていけば，10mで足りるんじゃない？
と思うかもしれません．
実はそれは間違いで，絶対に10m以上必要になります．
えっ！と思うかもしれませんが，例えば，電線の重さが1mあたり1kg，
電線の切れる荷重が10kgf（こんなものはないと思うが）とすると，
切れる限界で引張った時の長さは10.59mになります．
電線自体の自重を考えると，無限の力で引っ張らない限り，
支点間の距離よりも長くなります．
ただし，距離が短い場合はほとんど気にする必要はないぐらいで，
ガレージでも現在，電気工事で電線を壁に這わせていますが，
自重の影響は全く考える必要はないですね．
具体的に解いてみました
以下は数学的に計算した結果です．
高校物理，数学を理解していれば解ける問題です（が，式変形が面倒です）．
電柱の間の長さを\(2D[m]\)，電線の長さを\(2L[m]\)，
電線の水平張力を\(T_{0}[N]\)，電線の線方向の張力を\(T[N]\)，
電線の1mあたりの重さを\(W[kg/m]\)，重力を\(g[m/s^2]\)とする．
ここで，ある位置\(x\)における，線の長さを\(s\)とすると，
以下の図の力のつり合い，角度の定義や長さの定義から次の式が得られます．
\(T\sin\theta=Wsg\)
\(T\cos\theta=T_{0}\)
\(\displaystyle\tan\theta=\frac{dy}{dx}\)
\(s=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}\)
これを式変形して，
\(\displaystyle \frac{T_{0}}{Wg}\tan\theta\)\(=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{1+\tan^{2}\theta} dx\)\(=\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{\cos\theta} dx\) (\(\cos\theta>0\))
\(\displaystyle \frac{T_{0}}{Wg}=A\)とし，両辺を\(dx\)で微分すると，
\(\displaystyle A\frac{d\theta}{dx}\frac{1}{\cos^{2}\theta}\)\(=\displaystyle \frac{1}{\cos\theta}\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle A\frac{d\theta}{\cos\theta}=dx\)
ここで両辺を積分すると，
\(\displaystyle A\int\frac{d\theta}{\cos\theta}\)\(=\int_{} x dx\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\log\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\)\(=x+C\)
ここで境界条件として，\(x=0\)で\(\theta=0\)より，\(C=0\)
よって，\(\displaystyle \frac{A}{2}\log\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}=x\)
式変形して，
\(\displaystyle \sin\theta=\frac{e^{\frac{2x}{A}}-1}{e^{\frac{2x}{A}}+1}\)
さらに\(\displaystyle \tan^{2}\theta\)\(=\displaystyle \frac{\sin^{2}\theta}{1-\sin^{2}\theta}\)より，
\(\tan\theta\)\(=\displaystyle \frac{e^{\frac{x}{A}}-e^{-\frac{x}{A}}}{2}\)
これを\(\displaystyle\tan\theta=\frac{dy}{dx}\)に代入して，さらに\(x\)で積分すれば，
\(\displaystyle y=A\left(\frac{e^{\frac{x}{A}}+e^{-\frac{x}{A}}}{2}+C\right)\)
境界条件として，\(x=0\)で\(y=0\)とすれば，\(C=-1\)
よって，以下が懸垂曲線となる．
\(\displaystyle y=A\left(\frac{e^{\frac{x}{A}}+e^{-\frac{x}{A}}}{2}-1\right)\)
さらに長さ\(L\)については，\(s=L\)のときに，\(x=D\)であるから，
\(\displaystyle L=\int_{0}^{D}\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{D}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx\)\(=\displaystyle A\frac{e^{\frac{D}{A}}-e^{-\frac{D}{A}}}{2}\)
ここで最大張力\(T_{max}\)は，\(x=D\)の時であり，
破断張力\(T_{b}>T_{max}\)であれば線は破断しない．
よって，\(T_{max}\)\(=\displaystyle \frac{T_{0}}{\cos\theta_{max}}\)\(\displaystyle \frac{T_{0}(e^{\frac{D}{A}}+e^{-\frac{D}{A}})}{2}\)
これを\(T_{0}\)について数値的に解き，\(L\)の式に当てはめれば答えが得られる．
※自重のみで壊れる時の線の長さは\(T_{max}\)の最小値を求めることで計算できるので，暇な方はぜひ求めてみてください．
大学まで行くと，変分法というエネルギ最小化問題を解くと，同様の結果を得ることができますし，双曲線関数\(\sinh,\cosh,\tanh \)の微分，積分計算もできるようになるので，大学数学ならより簡単に解けるようになります．
皆さんも周りで数学的なものを探してみてはいかがでしょう．
それではまた！
math03
P.S. 実際に設計する時は，風荷重なども重要になります．
・送配電線の風圧加重・たるみ、支線の強度計算について
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